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  • 试题-三年级数学思维训练专题??5???找规律(一)-中小学

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    找规律(一)

    这一讲我们先介绍什么是“数列”,然后讲如何发现和寻找“数列”的规律。
    按一定次序排列的一列数就叫数列。例如,
    (1) 1,2,3,4,5,6,⋯
    (2) 1,2,4,8,16,32;
    (3) 1,0,0,1,0,0,1,⋯
    (4) 1,1,2,3,5,8,13。
    一个数列中从左至右的第n 个数,称为这个数列的第n 项。如,数列(1)的第3 项是3,数列(2)的第3 项是4。一般地,我们将数列的第n 项记作an。数列中的数可以是有限多个,如数列(2)(4),也可以是无限多个,如数列(1)(3)。许多数列中的数是按一定规律排列的,我们这一讲就是讲如何发现这些规律。数列(1)是按照自然数从小到大的次序排列的,也叫做自然数数列,其规律是:后项=前项+1,或第n 项an=n。数列(2)的规律是:后项=前项×2。数列(3)的规律是:“1,0,0”周而复始地出现。数列(4)的规律是:从第三项起,每项等于它前面两项的和,即a3=1+1=2,a4=1+2=3,a5=2+3=5,a6=3+5=8,a7=5+8=13。
    常见的较简单的数列规律有这样几类:
    第一类是数列各项只与它的项数有关,或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。
    第二类是前后几项为一组,以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。
    第三类是数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。这类情形稍为复杂些,我们用后面的例3、例4 来作一些说明。
    例1 找出下列各数列的规律,并按其规律在( )内填上合适的数:
    (1)4,7,10,13,( );       (2)84,72,60,( ),( );
    (3)2,6,18,( ),( ),      (4)625,125,25,( ),( );
    (5)1,4,9,16,( ),       (6)2,6,12,20,( ),( ),
    解:通过对已知的几个数的前后两项的观察、分析,可发现
    (1)的规律是:前项+3=后项。所以应填16。
    (2)的规律是:前项-12=后项。所以应填48,36。
    (3)的规律是:前项×3=后项。所以应填54,162。
    (4)的规律是:前项÷5=后项。所以应填5,1。
    (5)的规律是:数列各项依次为1=1×1, 4=2×2, 9=3×3, 16=4×4,
    所以应填5×5=25。
    (6)的规律是:数列各项依次为2=1×2,6=2×3,12=3×4,20=4×5,
    所以,应填 5×6=30, 6×7=42。
    例2 找出下列各数列的规律,并按其规律在( )内填上合适的数:
    (1)1,2,2,3,3,4,( ),( );
    (2)( ),( ),10,5,12,6,14,7;
    (3) 3,7,10,17,27,( );
    (4) 1,2,2,4,8,32,( )。
    解:通过对各数列已知的几个数的观察分析可得其规律。
    (1)把数列每两项分为一组,1,2,2,3,3,4,不难发现其规律是:前一组每个数加1 得到后一组数,所以应填4,5。
    (2)把后面已知的六个数分成三组:10,5,12,6,14,7,每组中两数的商都是2,且由5,6,7 的次序知,应填8,4。
    (3) 这个数列的规律是: 前面两项的和等于后面一项, 故应填(17+27=)44。
    (4)这个数列的规律是:前面两项的乘积等于后面一项,故应填(8×32=)256。
    例3 找出下列各数列的规律,并按其规律在( )内填上合适的数:
    (1)18,20,24,30,( );
    (2)11,12,14,18,26,( );
    (3)2,5,11,23,47,( ),( )。
    解:(1)因20-18=2,24-20=4,30-24=6,说明(后项-前项)组成一新数列2,4,6,⋯其规律是“依次加2”,因为6 后面是8,所以,a5-a4=a5-30=8,故a5=8+30=38。
    (2)12-11=1,14-12=2, 18-14=4, 26-18=8,组成一新数列1,2,4,8,⋯按此规律,8 后面为16。因此,a6-a5=a6-26=16,故a6=16+26=42。
    (3)观察数列前、后项的关系,后项=前项×2+1,所以a6=2a5+1=2×47+1=95,
    a7=2a6+1=2×95+1=191。
    例4 找出下列各数列的规律,并按其规律在( )内填上合适的数:
    (1)12,15,17,30, 22,45,( ),( );
    (2) 2,8,5,6,8,4,( ),( )。
    解:(1)数列的第1,3,5,⋯项组成一个新数列12,17, 22,⋯其规律是“依次加5”,22 后面的项就是27;数列的第2,4,6,⋯项组成一个新数列15,30,45,⋯其规律是“依次加15”,45 后面的项就是60。故应填27,60。
    (2)如(1)分析,由奇数项组成的新数列2,5,8,⋯中,8 后面的数应为11;由偶数项组成的新数列8,6,4,⋯ 中,4 后面的数应为2。故应填11,2。
    练习5
    按其规律在下列各数列的( )内填数。
    1.56,49,42,35,( )。
    2.11, 15, 19, 23,( ),⋯
    3.3,6,12,24,( )。
    4.2,3,5,9,17,( ),⋯
    5.1,3,4,7,11,( )。
    6.1,3,7,13,21,( )。
    7.3,5,3,10,3,15,( ),( )。
    8.8,3,9,4,10,5,( ),( )。
    9.2,5,10,17,26,( )。
    10.15,21,18,19,21,17,( ),( )。
    11.数列1,3,5,7,11,13,15,17。
    (1)如果其中缺少一个数,那么这个数是几?应补在何处?
    (2)如果其中多了一个数,那么这个数是几?为什么?

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